«Les mathématiques sont la science de l'exactitude.»

Ne dirons-nous pas que le nombre trois périra et souffrira tout au monde plutôt que de se résigner à devenir pair, en restant trois ?

Platon, Phédon, IVe siècle avant notre ère

Outre la politesse des rois, l'exactitude est l'horizon indépassable des mathématiques. On ne transige pas avec le résultat d'un calcul, qu'il soit mental, écrit ou informatique, et il est rigoureusement défendu de modifier l'énoncé d'un théorème sans raison valable. Les mathématiques ne sont certes pas la seule discipline qui puisse revendiquer ainsi une telle obsession de l'exactitude, mais ce sont elles qui sont le mieux parvenues à asseoir cette réputation. Celle-ci provient de plusieurs facteurs, l'un des principaux étant la permanence et l'extraordinaire longévité des affirmations mathématiques. Pour ne citer qu'un exemple parmi les plus simples, depuis que les hommes étudient l'arithmétique, personne n'a jamais pu contester qu'ajouter un nombre pair à un nombre impair produit toujours un nombre impair.
Il y a d'abord un aspect inconfortable à cet état de fait, qui ne laisse aucune place à la nuance. Impossible, pour justifier sa paresse, de se défendre en affirmant que les mathématiques d'aujourd'hui seront de toute façon contredites par de nouvelles découvertes. Mais surtout, il y a un côté effrayant à se représenter une logique tellement irrésistible que ses conclusions sont gravées dans le marbre, immuables et éternelles. Une telle force a quelque chose de surnaturel, au sens premier du mot. L'exactitude mathématique est-elle vraiment humaine ? Ne devrait-on pas plutôt considérer qu'elle ne saurait être que réservée à des individus un peu étranges, à regarder avec au moins autant de crainte que d'envie ? Cela expliquerait ce fameux «blocage» en mathématiques dont les journaux en mal de sujets accrocheurs nous rebattent les oreilles à intervalles réguliers...
Commençons par dissiper un malentendu : l'exactitude des mathématiques concerne le raisonnement davantage que les objets étudiés. Pendant longtemps certes, les cercles, triangles et droites parallèles de la géométrie classique, parangons d'exactitude abstraite, servaient d'emblèmes à toutes les mathématiques, et cette image est encore vivace dans la perception commune. En réalité, les choses ont évolué, et il y a longtemps que les mathématiciens s'intéressent aussi à des objets moins désincarnés. La théorie des probabilités, par exemple, aujourd'hui un pilier des mathématiques, est née de l'étude des jeux de dés et sert à quantifier l'incertitude dans de nombreux domaines, qui vont de l'analyse de données au calcul de haute précision. Les mathématiques appliquées concernent des objets on ne peut plus concrets : files d'attente à un standard téléphonique, transmission de données bancaires, biomécanique, imagerie numérique, etc. Pour être en mesure de raisonner mathématiquement sur de tels objets, on effectue une modélisation, c'est-à-dire que l'on produit un concept abstrait qui rend compte aussi bien que possible de l'objet à étudier, concept à partir duquel il est possible d'appliquer les règles de la logique. Ces règles, si elles sont utilisées comme il convient, permettent de tirer des conclu­sions qui, tout en étant mathématiquement exactes, ne sont pas aussi définitives que le théorème de Pythagore. Un cas typique est celui des intervalles de confiance pour un sondage : une fois triés les résultats d'une enquête et connues les conditions de sa réalisation, le mathématicien dira par exemple qu'il y a 95 % de chances pour que le score de tel candidat à telle élection se situe entre 35 et 37 %. Il s'agit bien d'une affirmation exacte, qui n'en porte pas moins sur une situation d'incertitude.