Extrait de l'avant-propos :

Cet ouvrage a pour objectif de présenter un outil de travail pour les étudiants orientés vers l'étude des équations aux dérivées partielles, aussi bien ceux de mastère en mathématiques pures ou appliquées que ceux qui abordent une thèse dans ce domaine. Il rassemble des résultats d'analyse fonctionnelle qui permettent de comprendre la nature et les propriétés des fonctions intervenant dans ces équations, ainsi que les contraintes auxquelles on les soumet pour que ces fonctions soient qualifiées de solutions. Le livre présente des méthodes modernes de résolution pour une classe de ces problèmes et interprète les solutions obtenues en étudiant leur régularité.
Rappelons que le domaine dans lequel on envisage une équation aux dérivées partielles est un ouvert Ω de RN. Cette équation est une relation que doit vérifier sur Ω la fonction inconnue u et ses dérivées partielles (cf. le préambule qui suit). En outre, on impose à cette fonction u et éventuellement à certaines de ses dérivées (voir dans le préambule les problèmes de Dirichlet et de Neumann), d'être égales à des fonctions données sur la frontière d£l de l'ouvert considéré : ces relations sont appelées conditions au bord.
La recherche d'une telle fonction fait l'objet de ce qui est appelé un problème aux limites dont la Physique fournit de nombreuses illustrations.
Si on considère les dérivations au sens habituel à l'intérieur de l'ouvert, l'analyse classique s'avère insuffisante pour la résolution de tels problèmes et cette lacune est confirmée par les résultats expérimentaux. En effet, ceux-ci présentent parfois pour solutions des fonctions dont les irrégularités excluent leur appartenance à des espaces de fonctions dérivables au sens classique. En outre la Physique fournit des exemples où le second membre / de l'équation donnée admet des discontinuités.

Y'' + y' + y = f,

où f est discontinue au point t = 0. Alors, une solution éventuelle ne peut être de classe C² sur R. On peut cependant chercher une solution de classe C1 ayant une dérivée y'' presque partout, ou encore une dérivée y' qui est une dérivée de la fonction y' au sens des distributions. En supposant que f soit encore moins régulière, mais qu'elle puisse cependant être considérée comme une distribution notée [f], on est ainsi amené à chercher des solutions qui sont des distributions [u], ce qui veut dire qu'alors, pour toute fonction φ indéfiniment différentiable dans R à support compact, on a ([u],φ'' -φ' +φ) = ([f], φ). Ces solutions, que l'on peut envisager, même lorsque / est régulière, sont dites aussi des solutions faibles de l'équation.
Tout cela suggère, en substituant à la dérivabilité habituelle la dérivabilité au sens des distributions, le concept de solution faible pour les EDP générales et conduit à l'étude de certains espaces de fonctions dont les dérivées au sens des distributions s'identifient à des fonctions de puissance p-ièmes sommables.