Je me souviens que j'ai plusieurs fois essayé de me servir d'une règle à calcul, et que plusieurs fois aussi j'ai commencé des manuels de maths modernes en me disant que si j'allais lentement, si je lisais toutes les leçons dans l'ordre en faisant les exercices et tout, il n'y avait aucune raison pour que je cale.

Georges Perec, in [37].

Une première version de ce livre est parue en 1998. Puis une deuxième, en anglais, en 2003. La présente édition est destinée aux étudiants de licence (L3) et de «master» de mathématiques ainsi qu'à celles et ceux qui préparent le CAPES ou l'agrégation. Elle s'adresse donc à des lecteurs qui ont étudié de la géométrie de façon plus ou moins expérimentale au lycée et de l'algèbre linéaire de façon plus formelle pendant deux années d'université. Elle est issue de l'enseignement que j'ai donné aux étudiants de ces filières et des enseignements que j'en ai moi-même tirés.

Deux idées directrices :

La première idée est de fournir un exposé rigoureux, basé sur la définition d'un espace affine via l'algèbre linéaire, mais qui n'hésite pas à être terre à terre et élémentaire. C'est pourquoi j'ai souhaité expliquer comment l'algèbre linéaire peut être utilisée en géométrie élémentaire et en même temps montrer de la «vraie» géométrie : des triangles, des sphères, des polyèdres, des angles inscrits, des inversions, des paraboles...

Il est en effet très satisfaisant pour les mathématiciens de définir un espace affine comme un ensemble de points sur lequel opère un espace vectoriel (et c'est ce que je fais ici) mais cette approche formelle, si élégante soit-elle, ne doit pas occulter l'aspect «phénoménologique» de la géométrie élémentaire, son esthétique propre : oui, le théorème de Thalès exprime simplement que les projections sont des applications affines, non, il n'est pas nécessaire d'orienter un plan euclidien pour y définir des angles orientés.., tout ça n'empêche ni le cercle d'Euler d'être tangent aux cercles inscrit et exinscrits, ni les droites de Simson d'envelopper une hypocycloïde à trois rebroussements !

Ce parti pris oblige à aborder certains sujets sous des éclairages différents.